Region of attraction

又称: ROA, basin of attraction, domain of attraction
类别: Control › Feedback control
标签: stability, nonlinear-control, lyapunov-analysis, verification, control-theory

闭环系统从中出发会收敛到给定平衡点或设定点的初始状态集合；它衡量控制器在受到多大扰动后仍能恢复。

定义

对于在固定控制器作用下的动力学系统，平衡点的吸引域（Region of attraction，ROA）是所有这样的初始状态的集合：从这些状态出发的轨迹随时间收敛到该平衡点。局部稳定性结论，例如在直立姿态附近线性化并得到稳定的特征值，只能说明平衡点会吸引某个未指明邻域内的状态；而吸引域说明的是这个邻域实际上有多大。对于带执行器限制的非线性系统，它通常是有界的，形状往往不规则，并且可能比线性分析所显示的小得多。同样的概念也适用于步行步态等周期运动，此时吸引盆（basin of attraction）是收敛到极限环的状态的集合。

精确的吸引域很少能计算出来，因此工程师使用保证位于其内部的内近似。标准工具是 Lyapunov 函数 V(x)：如果在下水平集 {x : V(x) ≤ ρ} 内的每一处，V 都沿轨迹递减，那么该集合就位于吸引域之内。对于多项式动力学，平方和（sums-of-squares）规划可以搜索最大的可认证 ρ，或者搜索 V 本身。仿真和采样能给出更快但未经认证的估计，而基于学习的方法则训练神经 Lyapunov 函数。对于 LQR 控制器，二次的未来代价（cost-to-go）是天然的 Lyapunov 候选函数，分析要检查的是它的水平集能延伸多远，直到非线性或力矩限制破坏递减条件。

吸引域使控制器可以组合。在顺序组合（sequential composition）中，每个控制器或运动基元只在状态位于其吸引域内时使用，并且一个控制器的目标集被放在下一个控制器的吸引域之内，这样规划器就能在有保证的前提下把它们串联起来。LQR-Trees 构建一棵由镇定轨迹组成的树，其经过验证的漏斗合在一起覆盖一定范围的初始状态。本站上的足式运动论文把同样的原理应用于运动基元图，其中每个基元的吸引域决定了哪些转移是安全的。

为何重要

只有当机器人从它能够恢复的状态出发并保持在这些状态中时，控制器才有用。吸引域量化了这种鲁棒性，指导何时切换控制器，并把局部稳定性结论变成规划器可以使用的保证。

主要应用

验证欠驱动系统的镇定控制器
足式机器人的抗推恢复以及在平衡策略之间切换
控制器和运动基元的顺序组合
使用经过验证的漏斗进行反馈运动规划
学习型控制器的安全性分析

实际应用

一个为四足机器人设计站立平衡控制器的团队，想知道它能承受多大的推力。他们仿真了许多受扰动的初始状态，改变基座速度和倾斜，并记录哪些状态能回到站立姿态；收敛样本与失败样本之间的边界给出了一个经验吸引域。对于一个降阶模型，他们还根据 Lyapunov 函数计算出一个经过认证的内近似。在机器人上，一个监督器把估计的状态与该区域进行比较，并在状态离开该区域时切换到迈步控制器，而不是让站立控制器尝试从一次它无法应对的推力中恢复。

常见误解

线性化稳定意味着机器人处处稳定 — 线性分析只保证在某个邻域内收敛，而一旦力矩限制和非线性起作用，这个邻域可能非常小
Lyapunov 下水平集就是吸引域 — 它是一个内近似；真实的吸引域通常更大
吸引域只是机器人本身的属性 — 它既取决于动力学，也取决于控制器及其限制，并且在增益或饱和限制改变时会发生变化

谁需要了解

设计镇定控制器的控制工程师
从事平衡问题的足式机器人和人形机器人开发人员
安全控制和可验证控制研究人员
组合控制器或运动基元的规划工程师

Open Source Robotics