Nonholonomic Constraint

• 又稱: non-holonomic constraint
• 類別: Foundations & spatial maths › Kinematics
• 標籤: kinematics, mobile-robots, motion-planning, wheeled-robots, control-theory

作用於系統速度、無法積分成組態約束的一種約束，例如車輪無法橫向滑動，卻仍能到達任何位置。

定義

非完整約束（nonholonomic constraint）限制系統在每一個瞬間可以運動的方向，但不限制它最終能夠到達哪些組態。完整約束可以寫成關於組態本身的方程式，例如兩點之間的距離固定，它們會從可達組態空間中移除維度。非完整約束則寫在速度上，通常採用 Pfaffian 形式 A(q) q̇ = 0，而且無法積分成這類方程式。經典例子是純滾動不打滑的車輪：它的速度必須沿著其行進方向，但藉由結合前進與轉向，它可以到達平面上的任何位置與方向。

輪式移動機器人是最常見的情況。差動驅動機器人或汽車無法瞬間橫向移動，因此路邊停車需要一連串前進與倒退的圓弧。其他來源包括輪腿機器人上的可轉向輪、球與平板的滾動，以及自由漂浮太空機器人中的角動量守恆，後者以無法積分的方式約束速度。具有這類約束的系統能否到達所有組態，是一個可控性問題，答案是檢驗允許運動方向的 Lie 括號是否張成組態空間（Chow 定理）。

非完整約束對規劃與控制都有實際的影響。組態空間中的直線路徑往往不可行，因此規劃器會使用 Dubins 曲線或 Reeds-Shepp 曲線等轉向函數、格子基元，或納入該約束的軌跡最佳化。在控制方面，Brockett 於 1983 年的結果顯示，許多非完整系統（包括單輪車）無法以平滑、非時變的狀態回饋律穩定到一個點；實用的控制器則改為追蹤一條移動的參考軌跡、使用時變或不連續的回饋，或是控制車輪軸前方的一個點。

為何重要

大多數輪式機器人都是非完整的，忽略這一點會產生機器人無法執行的規劃，以及在目標附近失效的控制器。這個概念也說明了為什麼在需要橫向運動時，會選用全向底盤與完整驅動。

主要應用

• 汽車、差動驅動機器人與曳引拖車的路徑規劃
• 輪式移動機器人的軌跡追蹤控制
• 輪腿機器人的運動最佳化
• 狹窄空間中的停車與操控
• 自由漂浮太空機器人的姿態控制

實際應用

某團隊在開發採用差動驅動的室內配送機器人時發現，他們為點狀機器人撰寫的全域規劃器，會在狹窄門口產生帶有尖角與橫向階梯的路徑。他們將局部規劃器改為取樣符合驅動約束的速度指令（例如前進速度與轉向速率），並加入最後接近的行為：沿著一條曲線駛向充電座，而不是試圖在原地修正小的橫向誤差。在一台輪腿四足機器人上，全身最佳化器也加入了類似的約束：每個車輪的對地速度必須沿著其轉向角方向，因此求解器絕不會規劃出車輪的橫向打滑。

常見誤解

• 非完整機器人無法到達某些位置 — 它通常能到達每一個組態，只是無法沿著每一條路徑到達
• 非完整代表機器人的自由度較少 — 組態空間維持其維度；受限的只有瞬時速度
• 任何速度限制都是非完整約束 — 速度與加速度上限是不等式限制，而不是關於方向的不可積等式約束
• 標準回饋控制就能把類車機器人停在一個點上 — Brockett 條件排除了這類系統的平滑非時變回饋，因此需要其他策略

誰需要了解

• 移動機器人規劃與控制工程師
• 自駕車運動規劃團隊
• 輪腿機器人與野外機器人開發人員
• 學習運動學與控制的機器人學學生

相關技術

• Dubins 路徑（Dubins Paths）
• Reeds-Shepp 曲線（Reeds-Shepp Curves）
• 狀態格子規劃器（State Lattice Planners）
• Pure Pursuit
• 麥克納姆輪（Mecanum Wheels）

相關術語

• Unicycle Model
• Configuration Space
• Omnidirectional Drive
• Kinematics
• Trajectory Planning
• Underactuated system

相關專案

• OMPL: Sampling-based motion planning library powering MoveIt and countless robotics applications
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影片

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