Bézier Curve

• 又稱: Bezier curve
• 類別: Planning & manipulation › Trajectory optimisation
• 標籤: trajectory-optimization, splines, path-planning, geometry, motion-planning

一種由控制點定義的多項式曲線：從第一個控制點開始、在最後一個控制點結束，並被中間的控制點拉向它們；廣泛用於機器人的路徑、軌跡與筆畫形狀。

定義

n 次 貝茲曲線（Bézier curve）是一種多項式曲線，由 n + 1 個控制點 P₀ … Pₙ 與一個從 0 變化到 1 的參數 t 定義：B(t) = Σ C(n, i) (1 − t)ⁿ⁻ⁱ tⁱ Pᵢ，其中的權重是 Bernstein 基底多項式。曲線起於 P₀、止於 Pₙ，兩端的切線分別沿著控制多邊形的第一段與最後一段；內部的控制點會塑造曲線的形狀，但一般不在曲線上。具有四個控制點的三次曲線最常見。這種形式於 1960 年代在法國汽車工業中發展出來，由雷諾的 Pierre Bézier 與雪鐵龍的 Paul de Casteljau 各自獨立提出。

有幾個性質讓 貝茲曲線在機器人領域很方便。整條曲線位於其控制點的凸包之內，因此只要把控制點留在一個沒有障礙物的凸區域內，就能保證曲線也留在該區域內；這把避碰轉化為線性限制條件，在凸集合圖上的軌跡最佳化就是這樣做的。貝茲曲線的導數是另一條低一次的 貝茲曲線，其控制點為 n(Pᵢ₊₁ − Pᵢ)，因此速度與加速度的界限也能施加在控制點上，只是較為保守。de Casteljau 演算法透過反覆的線性內插，以數值穩定的方式計算並分割曲線。

也有一些必須記住的限制。參數 t 既不是時間也不是弧長，因此用作軌跡的曲線仍需要時間參數化，而且 t 的等步長並不代表曲線上的等距離。移動一個控制點會改變整條曲線，所以長路徑通常由幾段低次曲線接成，並在位置、切線與曲率上加上連續性條件，或以能提供局部控制的 B 樣條表示。為了擬合複雜形狀而提高次數，會讓曲線更難調整形狀，數值上的表現也更差。

為何重要

貝茲曲線為路徑與軌跡提供精簡、平滑且容易加上限制條件的表示方式，用途從汽車與無人機軌跡一直到工具與畫筆的筆畫。它的凸包性質與導數性質，把安全限制與動態限制轉化為少數幾個點上的簡單限制條件，這也是它出現在許多以最佳化為基礎的規劃器中的原因。

主要應用

• 為無人機與移動機器人產生平滑軌跡
• 圖搜尋或以取樣為基礎的規劃之後的路徑平滑化
• 自駕車的變換車道與停車路徑
• 繪畫、繪圖與點膠機器人的工具、畫筆與筆的筆畫
• 使用凸集合圖的運動規劃
• 足式機器人的擺動腳軌跡

實際應用

一個無人機規劃器把穿越倉庫的路線切成一串沒有障礙物的凸區域，並為每個區域指派一段 貝茲曲線。它要求每段曲線的控制點位於所屬區域內，把一段的最後幾個控制點與下一段的最前幾個控制點連結起來，讓位置、速度與加速度在接點處吻合，並限制導數曲線的控制點，以遵守速度與加速度限制。由於這些限制條件對控制點全都是線性的，整個問題是一個能快速求解的凸規劃。最後一步依選定的時長，把每段的參數 t 映射為時間；縮短時長會等比例提高無人機必須達到的每一個速度與加速度。

常見誤解

• 貝茲曲線會通過它所有的控制點 — 只有第一個與最後一個控制點在曲線上；內部的控制點會拉動曲線，但曲線不會碰到它們
• 參數 t 就是時間 — t 是介於 0 與 1 之間的形狀參數；速度與加速度由另外的時間縮放來設定
• 對複雜路徑而言，次數越高越好 — 高次曲線會失去局部控制；由低次曲線段組成的鏈或 B 樣條通常較為理想
• 限制控制點就能得到精確的速度限制 — 對導數控制點的界限是充分但保守的，因此實際峰值通常低於該界限

誰需要了解

• 運動規劃與軌跡規劃工程師
• 自駕車與無人機開發人員
• 噴塗、焊接與點膠機器人的程式設計人員
• 設計擺動軌跡的足式行走運動工程師

相關技術

• B 樣條（B-Splines）
• de Casteljau 演算法（de Casteljau Algorithm）
• Bernstein 多項式（Bernstein Polynomials）
• NURBS
• 時間最佳路徑參數化（Time-Optimal Path Parameterization）
• 凸最佳化（Convex Optimization）

相關術語

• Trajectory Planning
• Minimum-Snap Trajectory
• Graph of Convex Sets
• Motion Primitive
• Elastic band

相關專案

• Nav2: ROS 2 navigation stack with path planning and obstacle avoidance for mobile robots
• ROS Motion Planning: One repo implementing 40+ classic and learning-based robot path planners as ROS plugins
• OMPL: Sampling-based motion planning library powering MoveIt and countless robotics applications
• MoveIt 2: Motion planning framework for ROS 2 robot arms, with kinematics and collision checking
• PyRoki: Modular Python toolkit for kinematic optimization across CPU, GPU, and TPU via JAX
• mink: Python inverse kinematics library built on MuJoCo supporting 20+ robot platforms

影片

• The Beauty of Bézier Curves: Freya Holmér