Region of attraction

Auch genannt: ROA, basin of attraction, domain of attraction
Kategorie: Control › Feedback control
Schlagwörter: stability, nonlinear-control, lyapunov-analysis, verification, control-theory

Die Menge der Anfangszustände, aus denen ein geschlossener Regelkreis gegen eine gegebene Ruhelage oder einen Sollwert konvergiert; sie misst, wie stark ein Regler gestört werden kann und sich trotzdem erholt.

Definition

Für ein dynamisches System unter einem festen Regler ist der Einzugsbereich (region of attraction, ROA) einer Ruhelage die Menge aller Anfangszustände, deren Trajektorien im Lauf der Zeit gegen diese Ruhelage konvergieren. Lokale Stabilitätsaussagen, etwa durch Linearisieren um eine aufrechte Pose und das Finden stabiler Eigenwerte, sagen nur, dass die Ruhelage Zustände in einer nicht näher bestimmten Umgebung anzieht; der Einzugsbereich sagt, wie groß diese Umgebung tatsächlich ist. Bei nichtlinearen Systemen mit Aktuatorgrenzen ist er meist beschränkt und oft unregelmäßig geformt, und er kann viel kleiner sein, als eine lineare Analyse nahelegt. Dieselbe Idee gilt für periodische Bewegungen wie eine Gangart beim Gehen, wo das Einzugsgebiet (basin of attraction) die Menge der Zustände ist, die gegen den Grenzzyklus konvergieren.

Der exakte Einzugsbereich lässt sich selten berechnen, daher arbeiten Ingenieure mit inneren Näherungen, die garantiert in ihm liegen. Das Standardwerkzeug ist eine Ljapunow-Funktion V(x): Wenn V überall in einer Subniveaumenge {x : V(x) ≤ ρ} entlang der Trajektorien abnimmt, dann liegt diese Menge im Einzugsbereich. Bei polynomialer Dynamik kann Sum-of-Squares-Programmierung nach dem größten zertifizierten ρ oder nach V selbst suchen. Simulation und Stichproben liefern schnellere, aber nicht zertifizierte Schätzungen, und lernbasierte Verfahren trainieren neuronale Ljapunow-Funktionen. Bei LQR-Reglern sind die quadratischen Restkosten (cost-to-go) ein naheliegender Ljapunow-Kandidat, und die Analyse prüft, wie weit ihre Niveaumengen reichen, bevor Nichtlinearitäten oder Drehmomentgrenzen die Abnahmebedingung verletzen.

Einzugsbereiche machen Regler kombinierbar. Bei der sequenziellen Komposition (sequential composition) wird jeder Regler oder jedes Bewegungsprimitiv nur verwendet, wenn der Zustand in seinem Einzugsbereich liegt, und die Zielmenge eines Reglers wird in den Einzugsbereich des nächsten gelegt, sodass ein Planer sie mit Garantien verketten kann. LQR-Trees bauen einen Baum stabilisierter Trajektorien, deren verifizierte Trichter (funnels) zusammen einen Bereich von Anfangszuständen abdecken. Das Paper zur Fortbewegung auf Beinen auf unserer Website wendet dasselbe Prinzip auf einen Graphen von Bewegungsprimitiven an, in dem der Einzugsbereich jedes Primitivs bestimmt, welche Übergänge sicher sind.

Warum es wichtig ist

Ein Regler ist nur nützlich, wenn der Roboter in den Zuständen startet und bleibt, aus denen der Regler ihn zurückholen kann. Der Einzugsbereich quantifiziert diese Robustheit, zeigt an, wann zwischen Reglern umgeschaltet werden sollte, und macht aus lokalen Stabilitätsaussagen Garantien, die ein Planer nutzen kann.

Wichtige Anwendungen

Verifikation stabilisierender Regler für unteraktuierte Systeme
Abfangen von Stößen und Umschalten zwischen Balancestrategien bei Laufrobotern
Sequenzielle Komposition von Reglern und Bewegungsprimitiven
Bewegungsplanung mit Rückführung und verifizierten Trichtern
Sicherheitsanalyse gelernter Regler

In der Praxis

Ein Team, das einen Regler für das Balancieren im Stand eines Vierbeiners entwirft, will wissen, wie starken Stößen er standhält. Es simuliert viele gestörte Anfangszustände mit variierender Basisgeschwindigkeit und Neigung und hält fest, welche zur Standpose zurückkehren; die Grenze zwischen konvergierenden und scheiternden Stichproben ergibt einen empirischen Einzugsbereich. Für ein reduziertes Modell berechnet es zudem eine zertifizierte innere Näherung aus einer Ljapunow-Funktion. Auf dem Roboter vergleicht eine Überwachung den geschätzten Zustand mit diesem Bereich und schaltet auf einen Schrittregler um, sobald der Zustand ihn verlässt, statt den Stand-Regler versuchen zu lassen, sich von einem Stoß zu erholen, den er nicht bewältigen kann.

Häufige Missverständnisse

Eine stabile Linearisierung bedeutet, dass der Roboter überall stabil ist — die lineare Analyse garantiert Konvergenz nur in einer gewissen Umgebung, die sehr klein sein kann, sobald Drehmomentgrenzen und Nichtlinearitäten wirken
Eine Ljapunow-Subniveaumenge ist der Einzugsbereich — sie ist eine innere Näherung; der tatsächliche Bereich ist meist größer
Der Einzugsbereich ist eine Eigenschaft allein des Roboters — er hängt sowohl vom Regler und seinen Grenzen als auch von der Dynamik ab und ändert sich, wenn sich Verstärkungen oder Sättigungsgrenzen ändern

Wer das wissen sollte

Regelungsingenieure, die stabilisierende Regler entwerfen
Entwickler von Lauf- und humanoiden Robotern, die an Balance arbeiten
Forschende in sicherer und verifizierter Regelung
Planungsingenieure, die Regler oder Bewegungsprimitive kombinieren

Open Source Robotics