Complementarity Constraint

• 又称: complementarity condition, contact complementarity
• 类别: Planning & manipulation › Trajectory optimisation
• 标签: contact, trajectory-optimization, nonlinear-programming, physics-simulation, legged-robots

一对乘积为零的非负条件，因此至多一个量可以为正；用于对接触建模，即只有在间隙为零时才存在力。

定义

互补约束（complementarity constraint）把两个量联系起来：两者都必须非负，且乘积必须为零，记作 0 ≤ a ⊥ b ≥ 0。在任何解中，两者至少有一个为零，且只有在另一个保持为零时，其中一个才可以为正。只要一个系统在两种状态之间切换而又没有显式的切换变量，就会出现这种结构；它是线性互补问题（LCP）以及带互补约束的数学规划的基础。

刚性接触是机器人学中的标准例子。足端或手指与表面之间的距离 φ(q) 必须非负；法向接触力 λ 必须非负，因为表面只能推；而且只有当距离为零时，力才能不为零：0 ≤ φ(q) ⊥ λ ≥ 0。库仑摩擦可以用更多的互补条件来表示，把滑动速度与摩擦力是否位于摩擦锥边界上联系起来。1990 年代发展起来的时间步进刚体仿真器，包括 Stewart 与 Trinkle 以及 Anitescu 与 Potra 的方案，在每一步求解一个 LCP 或相关的互补问题来得到接触冲量。在轨迹优化中，Posa、Cantu 和 Tedrake（2014）把这些约束直接加入直接转录问题中，使优化器在不预先指定接触序列的情况下，自行选择何时何处建立和断开接触。

这种方法避免了混合整数表述中用于表示接触通断的整数变量，但也带来了自身的困难。互补约束是非凸的，并且违反了标准非线性规划求解器所依赖的约束规范，因此求解器可能停滞或收敛缓慢。常见的补救方法包括：把乘积条件松弛为 φλ ≤ ε，并在一系列求解中逐步收紧 ε；把乘积作为罚项移入代价函数；或使用专为互补问题设计的求解器。良好的初始猜测非常重要，这就是接触隐式优化器常从较简单的解进行热启动的原因。

为何重要

接触是腿式运动和操作的决定性特征，而互补约束是用方程精确描述刚性接触的标准方式。它们让仿真器能一致地计算接触力，并让优化器自行发现接触时机，而不需要工程师事先固定步态或接触序列。

主要应用

• 用于腿式机器人和操作的接触隐式轨迹优化
• 带接触和摩擦的时间步进刚体仿真
• 着陆、跳跃和冲击规划
• 对关节极限和缆绳等单边约束建模
• 接触的可微物理表述

实际应用

一位工程师为从高处落下的四足机器人规划着陆。轨迹优化采用直接转录法，每隔几毫秒设置一个节点；对每只脚和每个节点，它把脚离地的高度和竖直方向的地面反作用力作为变量加入，并附加条件 高度 ≥ 0、力 ≥ 0 以及 高度 × 力 ≤ ε。第一次求解使用宽松的 ε，并以简单下落运动作为初始猜测；之后的每次求解都收紧 ε，并从上一次的解进行热启动。最终的规划显示了哪些脚先着地以及力如何逐渐上升，工程师还要检查剩余的互补违反量是否足够小，使规划不依赖于隔空作用的力。

常见误解

• 互补约束使接触规划变为凸问题 — 它们去掉了整数变量，但本身是非凸的，对标准求解器而言在数值上很困难
• 松弛后乘积很小的解在物理上是精确的 — 在 φλ ≤ ε 下，优化器可以利用小距离处的小力，因此必须检查 ε 和剩余的违反量
• 所有物理引擎都把接触作为互补问题求解 — 许多引擎使用罚函数或柔顺接触模型，或使用凸松弛，而不是严格的互补

谁需要了解

• 轨迹优化与腿式运动工程师
• 物理仿真开发者
• 规划穿越接触过程的操作研究人员
• 机器人领域的数值优化从业者

相关技术

• 线性互补问题（Linear Complementarity Problem，LCP）
• MPCC（Mathematical Program with Complementarity Constraints）
• IPOPT
• Drake
• PATH 求解器（PATH Solver）

相关术语

• Contact mode
• Mixed-Integer Programming
• Direct Collocation
• Penalty-Based Contact Model
• Coulomb Friction
• Warm Start

相关项目

• Drake: MIT robotics toolbox for model-based dynamics, optimization, and control system design
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