Region of attraction

又稱: ROA, basin of attraction, domain of attraction
類別: Control › Feedback control
標籤: stability, nonlinear-control, lyapunov-analysis, verification, control-theory

閉迴路系統從中出發會收斂到指定平衡點或設定點的初始狀態集合；它衡量控制器在受到多大擾動後仍能恢復。

定義

對於在固定控制器下的動態系統，平衡點的吸引區域（Region of attraction，ROA）是所有這樣的初始狀態的集合：從這些狀態出發的軌跡會隨時間收斂到該平衡點。局部穩定性的結果，例如在直立姿勢附近線性化並得到穩定的特徵值，只說明平衡點會吸引某個未指明鄰域內的狀態；吸引區域則說明這個鄰域實際上有多大。對於有致動器限制的非線性系統，它通常是有界的，形狀往往不規則，而且可能比線性分析所顯示的小得多。同樣的概念也適用於步行步態等週期運動，此時吸引盆（basin of attraction）是會收斂到極限環的狀態集合。

精確的吸引區域很少能算出來，因此工程師使用保證位於其中的內近似。標準工具是 Lyapunov 函數 V(x)：若在下水平集 {x : V(x) ≤ ρ} 內的每一處，V 都沿著軌跡遞減，那麼這個集合就位於吸引區域之內。對多項式動力學，平方和（sums-of-squares）規劃可以搜尋可認證的最大 ρ，或搜尋 V 本身。模擬與取樣能給出較快但未經認證的估計，而以學習為基礎的方法則訓練神經 Lyapunov 函數。對 LQR 控制器而言，二次的剩餘成本（cost-to-go）是自然的 Lyapunov 候選函數，分析要檢查的是它的水平集能延伸多遠，直到非線性或力矩限制破壞遞減條件。

吸引區域讓控制器可以組合。在循序組合（sequential composition）中，每個控制器或運動基元只在狀態位於其吸引區域內時使用，並且一個控制器的目標集合會放在下一個控制器的吸引區域之內，如此規劃器就能在有保證的情況下把它們串接起來。LQR-Trees 建立一棵由穩定化軌跡組成的樹，其經過驗證的漏斗合起來涵蓋一個範圍的初始狀態。本站上的足式移動論文把相同的原理套用在運動基元圖上，其中每個基元的吸引區域決定哪些轉換是安全的。

為何重要

只有當機器人從它能恢復的狀態出發並維持在這些狀態中時，控制器才有用。吸引區域量化了這種強健性，指引何時切換控制器，並把局部穩定性的主張變成規劃器能使用的保證。

主要應用

驗證欠驅動系統的穩定化控制器
足式機器人的推擠恢復與平衡策略之間的切換
控制器與運動基元的循序組合
使用經過驗證的漏斗進行回饋運動規劃
學習式控制器的安全性分析

實際應用

一個為四足機器人設計站立平衡控制器的團隊，想知道它能承受多大的推力。他們模擬許多受擾動的初始狀態，改變基座速度與傾斜，並記錄哪些狀態能回到站立姿勢；收斂樣本與失敗樣本之間的邊界給出一個經驗的吸引區域。對於降階模型，他們也從 Lyapunov 函數算出一個經過認證的內近似。在機器人上，一個監督器把估計的狀態與這個區域比較，每當狀態離開它時就切換到跨步控制器，而不是讓站立控制器試圖從一次它無法應付的推擠中恢復。

常見誤解

線性化穩定代表機器人在任何地方都穩定 — 線性分析只保證在某個鄰域內收斂，而一旦力矩限制與非線性開始作用，這個鄰域可能非常小
Lyapunov 下水平集就是吸引區域 — 它是內近似；真正的區域通常更大
吸引區域只是機器人本身的性質 — 它除了取決於動力學，也取決於控制器及其限制，並會在增益或飽和限制改變時跟著改變

誰需要了解

設計穩定化控制器的控制工程師
從事平衡的足式機器人與人形機器人開發人員
安全控制與可驗證控制研究人員
組合控制器或運動基元的規劃工程師

Open Source Robotics