Linear-Quadratic Regulator

又稱: LQR, linear quadratic regulator
類別: Control › Feedback control
標籤: optimal-control, feedback-control, state-space, riccati-equation, stabilization

針對線性系統、以狀態與輸入的二次成本為目標的最佳回授控制器，其解是由黎卡提方程式求得的增益矩陣。

定義

線性二次調節器（linear-quadratic regulator，LQR）為具有線性動態的系統求出使二次成本最小的回授律。在離散時間下，動態為 x_{k+1} = A x_k + B u_k，成本是 xᵀQx + uᵀRu 隨時間的總和，其中 Q 對狀態誤差加權，R 對控制量加權。最佳控制是線性狀態回授 u = −Kx，增益 K 由黎卡提方程式得出：有限時域時是一個反向遞迴，無限時域時則是代數黎卡提方程式。Kalman 在 1960 年以這種形式提出這個問題，LQR 至今仍是現代控制的基礎之一。

實務上，工程師是選擇 Q 與 R，而不是直接配置極點。Q 中較大的元素會讓控制器更努力壓制那些狀態上的誤差；較大的 R 則讓它使用較少的致動器出力。Bryson 法則將每個對角權重設為可接受最大值平方的倒數，是常見的起點。在全狀態回授下，連續時間 LQR 具有保證的強健性邊限，包括每個輸入通道至少 60 度的相位邊限。當狀態由觀測器估計時，這些保證就不再成立；把 LQR 與卡爾曼濾波器結合，得到 LQG 控制，它對高斯雜訊是最佳的，但沒有保證的邊限。

大多數機器人是非線性的，因此 LQR 是套用在線性化模型上。在平衡點附近線性化，例如直立的倒單擺或懸停的四旋翼，得到的控制器在該點周圍的吸引區域內有效。沿著一條軌跡線性化得到時變 LQR，而圍繞逐步改進的軌跡重複這個過程，就引出迭代 LQR 與微分動態規劃。LQR 不處理扭矩限制這類約束；模型預測控制透過線上求解帶約束的最佳化問題來納入這些約束，而具有二次成本且時域夠長的無約束線性 MPC 會重現 LQR 增益。許多 MPC 設計也把 LQR 的剩餘成本（cost-to-go）當作終端成本。

為何重要

LQR 提供一套有原則的方法，能從一個模型與兩個權重矩陣出發設計多輸入回授控制器，並對線性化系統給出穩定性保證。它是軌跡追蹤、平衡控制，以及大部分最佳控制與預測控制的起點。

主要應用

倒單擺、輪式平衡機器人與人形機器人的平衡控制
多旋翼的懸停與姿態穩定
以時變 LQR 進行軌跡追蹤
模型預測控制中的終端成本與局部控制器
迭代軌跡最佳化中的穩定化控制器

實際應用

一支製作兩輪平衡機器人的團隊，把它建模成帶倒單擺的台車，並在直立位置附近將動態線性化，得到關於俯仰角、俯仰角速度、輪子位置與輪子速度的 A 與 B 矩陣。他們設定 Q 以重罰俯仰角、輕罰輪子位置，依 Bryson 法則根據馬達扭矩限制選擇 R，並以 200 Hz 的控制頻率用離散時間黎卡提求解器算出 K。測試時，機器人能保持平衡，但被用力一推後馬達會飽和，於是他們加大 R，直到在預期擾動下命令都維持在限制之內。一個狀態估測器融合 IMU 與編碼器資料，提供控制器所需的完整狀態。

常見誤解

LQR 能處理致動器限制 — 它忽略約束，因此飽和必須另外檢查，或以 MPC 處理
LQR 只適用於線性機器人 — 它經常透過線性化套用在非線性系統上，在操作點或軌跡附近有效
LQR 一定是強健的 — 它保證的邊限需要全狀態回授；使用觀測器時（如 LQG），必須檢查強健性
Q 與 R 來自物理定律 — 它們是在追蹤表現與控制量之間取捨的設計選擇，需要依任務調整

誰需要了解

設計回授控制器的控制工程師
腿足、平衡與空中機器人開發者
軌跡最佳化與 MPC 研究人員
研讀最佳控制的機器人學學生

影片

What Is Linear Quadratic Regulator (LQR) Optimal Control? | State Space, Part 4: MATLAB
Linear Quadratic Regulator (LQR) Control for the Inverted Pendulum on a Cart [Control Bootcamp]: Steve Brunton

Open Source Robotics