Complementarity Constraint

• 又稱: complementarity condition, contact complementarity
• 類別: Planning & manipulation › Trajectory optimisation
• 標籤: contact, trajectory-optimization, nonlinear-programming, physics-simulation, legged-robots

一對乘積為零的非負條件，因此至多只有一個量可以為正；用來為接觸建模，也就是只有在間隙為零時才存在力。

定義

互補約束（complementarity constraint）把兩個量連結起來：兩者都必須非負，而且乘積必須為零，寫成 0 ≤ a ⊥ b ≥ 0。在任何解中，兩者至少有一個為零，而且只有在另一個維持為零時，其中一個才可以為正。每當一個系統在兩種狀態之間切換、卻沒有明確的切換變數時，就會出現這種結構；它是線性互補問題（LCP）以及具互補約束之數學規劃的基礎。

剛性接觸是機器人學中的標準例子。足端或手指與表面之間的距離 φ(q) 必須非負；法向接觸力 λ 必須非負，因為表面只能推；而且只有在距離為零時，力才可能不為零：0 ≤ φ(q) ⊥ λ ≥ 0。庫侖摩擦可以用更多的互補條件來表示，把滑動速度與摩擦力是否落在摩擦錐的邊緣上連結起來。1990 年代發展出來的時間步進剛體模擬器，包括 Stewart 與 Trinkle、Anitescu 與 Potra 的方法，會在每一步求解一個 LCP 或相關的互補問題，以求得接觸衝量。在軌跡最佳化中，Posa、Cantu 與 Tedrake（2014）把這些約束直接加進直接轉錄問題，讓最佳化器在不必事先指定接觸順序的情況下，自行決定何時、何處建立與斷開接觸。

這種做法避開了混合整數表述用來表示接觸開關的整數變數，卻也帶來了自己的困難。互補約束是非凸的，而且違反了標準非線性規劃求解器所依賴的約束規範，因此求解器可能停滯或收斂緩慢。常見的補救方式包括：把乘積條件放寬為 φλ ≤ ε，並在一連串求解中逐步收緊 ε；把乘積當成懲罰項移進成本函數；或使用專為互補問題設計的求解器。良好的初始猜測非常重要，這也是接觸隱式最佳化器常從較簡單的解進行熱啟動的原因。

為何重要

接觸是足式運動與操作的決定性特徵，而互補約束是以方程式精確描述剛性接觸的標準方式。它們讓模擬器能一致地計算接觸力，也讓最佳化器能自行找出接觸時機，而不需要工程師事先固定步態或接觸順序。

主要應用

• 用於足式機器人與操作的接觸隱式軌跡最佳化
• 含接觸與摩擦的時間步進剛體模擬
• 著陸、跳躍與衝擊規劃
• 為關節極限與纜線等單邊約束建模
• 接觸的可微分物理表述

實際應用

一位工程師為一台從高處落下的四足機器人規劃著陸。軌跡最佳化採用直接轉錄，每隔幾毫秒設一個節點；對每隻腳與每個節點，它把腳離地的高度與垂直方向的地面反作用力加為變數，並附上條件 高度 ≥ 0、力 ≥ 0 與 高度 × 力 ≤ ε。第一次求解使用寬鬆的 ε，並以一個簡單的下落動作作為初始猜測；之後每次求解都收緊 ε，並從上一次的解熱啟動。最終的規劃顯示哪幾隻腳先著地、力如何逐步上升，工程師也會檢查剩餘的互補違反量是否夠小，使規劃不會依賴隔空作用的力。

常見誤解

• 互補約束讓接觸規劃變成凸問題 — 它們去掉了整數變數，但本身是非凸的，對標準求解器而言在數值上很困難
• 放寬後乘積很小的解在物理上是精確的 — 在 φλ ≤ ε 之下，最佳化器可以利用小距離上的小力，因此必須檢查 ε 與剩餘的違反量
• 所有物理引擎都把接觸當成互補問題來求解 — 許多引擎改用懲罰式或柔順接觸模型，或是凸鬆弛，而不是嚴格的互補

誰需要了解

• 軌跡最佳化與足式運動工程師
• 物理模擬開發人員
• 規劃穿越接觸過程的操作研究人員
• 機器人領域的數值最佳化實務工作者

相關技術

• 線性互補問題（Linear Complementarity Problem，LCP）
• MPCC（Mathematical Program with Complementarity Constraints）
• IPOPT
• Drake
• PATH 求解器（PATH Solver）

相關術語

• Contact mode
• Mixed-Integer Programming
• Direct Collocation
• Penalty-Based Contact Model
• Coulomb Friction
• Warm Start

相關專案

• Drake: MIT robotics toolbox for model-based dynamics, optimization, and control system design
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