Region of attraction
- Detto anche: ROA, basin of attraction, domain of attraction
- Categoria: Control › Feedback control
- Tag: stability, nonlinear-control, lyapunov-analysis, verification, control-theory
L'insieme degli stati iniziali da cui un sistema ad anello chiuso converge a un dato equilibrio o setpoint; misura quanto un controllore può essere perturbato e riuscire comunque a recuperare.
Definizione
Per un sistema dinamico sotto un controllore fissato, la regione di attrazione (region of attraction, ROA) di un equilibrio è l'insieme di tutti gli stati iniziali le cui traiettorie convergono a quell'equilibrio nel tempo. I risultati di stabilità locale, come linearizzare attorno a una postura eretta e trovare autovalori stabili, dicono solo che l'equilibrio attrae gli stati in un intorno non specificato; la regione di attrazione dice quanto è grande davvero quell'intorno. Per sistemi non lineari con limiti degli attuatori è di solito limitata e spesso di forma irregolare, e può essere molto più piccola di quanto suggerisca un'analisi lineare. La stessa idea si applica a moti periodici come un'andatura, dove il bacino di attrazione è l'insieme degli stati che convergono al ciclo limite.
La regione di attrazione esatta si può calcolare raramente, quindi gli ingegneri lavorano con approssimazioni interne che sono garantite trovarsi al suo interno. Lo strumento standard è una funzione di Lyapunov V(x): se V decresce lungo le traiettorie ovunque in un insieme di sottolivello {x : V(x) ≤ ρ}, quell'insieme è contenuto nella regione di attrazione. Per dinamiche polinomiali, la programmazione a somme di quadrati può cercare il ρ certificato più grande, o la stessa V. La simulazione e il campionamento danno stime più rapide ma non certificate, e i metodi basati sull'apprendimento addestrano funzioni di Lyapunov neurali. Per i controllori LQR, il costo residuo (cost-to-go) quadratico è un candidato naturale come funzione di Lyapunov, e l'analisi verifica fin dove si estendono i suoi insiemi di livello prima che le non linearità o i limiti di coppia violino la condizione di decrescita.
Le regioni di attrazione rendono i controllori componibili. Nella composizione sequenziale, ogni controllore o primitiva di movimento viene usato solo quando lo stato è dentro la sua regione di attrazione, e l'insieme obiettivo di un controllore viene posto dentro la regione di attrazione del successivo, così che un pianificatore possa concatenarli con garanzie. Gli LQR-Trees costruiscono un albero di traiettorie stabilizzate i cui imbuti verificati, insieme, coprono un intervallo di stati iniziali. L'articolo sulla locomozione con gambe presente sul nostro sito applica lo stesso principio a un grafo di primitive di movimento, dove la regione di attrazione di ciascuna primitiva determina quali transizioni sono sicure.
Perché è importante
Un controllore è utile solo se il robot parte, e resta, dentro gli stati da cui può recuperare. La regione di attrazione quantifica questa robustezza, indica quando cambiare controllore e trasforma affermazioni di stabilità locale in garanzie che un pianificatore può usare.
Applicazioni principali
- Verifica di controllori stabilizzanti per sistemi sottoattuati
- Recupero dalle spinte e passaggio tra strategie di equilibrio nei robot con gambe
- Composizione sequenziale di controllori e primitive di movimento
- Pianificazione del movimento in retroazione con imbuti verificati
- Analisi di sicurezza di controllori appresi
In pratica
Un team che progetta un controllore di equilibrio in piedi per un quadrupede vuole sapere quanto forte può essere una spinta a cui sopravvive. Simula molti stati iniziali perturbati, variando la velocità e l'inclinazione della base, e registra quali tornano alla postura in piedi; il confine tra i campioni che convergono e quelli che falliscono dà una regione di attrazione empirica. Per un modello ridotto calcola anche un'approssimazione interna certificata a partire da una funzione di Lyapunov. Sul robot, un supervisore confronta lo stato stimato con questa regione e passa a un controllore a passi ogni volta che lo stato ne esce, invece di lasciare che il controllore in piedi cerchi di recuperare da una spinta che non può gestire.
Idee sbagliate comuni
- Una linearizzazione stabile significa che il robot è stabile ovunque — l'analisi lineare garantisce la convergenza solo in un certo intorno, che può essere molto piccolo quando entrano in gioco limiti di coppia e non linearità
- Un insieme di sottolivello di Lyapunov è la regione di attrazione — è un'approssimazione interna; la regione vera è di solito più grande
- La regione di attrazione è una proprietà del solo robot — dipende dal controllore e dai suoi limiti oltre che dalla dinamica, e cambia quando cambiano i guadagni o i limiti di saturazione
Chi dovrebbe saperlo
- Ingegneri del controllo che progettano controllori stabilizzanti
- Sviluppatori di robot con gambe e umanoidi che lavorano sull'equilibrio
- Ricercatori di controllo sicuro e verificato
- Ingegneri di pianificazione che compongono controllori o primitive di movimento
Tecnologie correlate
- Funzioni di Lyapunov (Lyapunov Functions)
- Programmazione a somme di quadrati (Sums-of-Squares Programming)
- LQR-Trees
- Funzioni di Lyapunov neurali (Neural Lyapunov Functions)
- Drake