SE(3)

又称: special Euclidean group, SE3, rigid-body transformation group
类别: Foundations & spatial maths › Frames & transforms
标签: lie-groups, rigid-body-motion, spatial-math, kinematics, pose-estimation

3D 空间中刚体运动构成的群，即所有旋转与所有平移的组合，通常写成 4×4 齐次变换矩阵。它描述位姿以及位姿的变化。

定义

SE(3)，即三维特殊欧几里得群（special Euclidean group），包含所有刚体变换：一个取自 SO(3)（行列式为 +1 的 3×3 正交矩阵构成的群）的旋转 R，加上一个平移向量 p。把它写成 4×4 齐次矩阵（R 位于左上角，p 位于右侧一列，最下面一行为 [0 0 0 1]）时，两个运动的复合就是矩阵乘法，其逆的旋转为 Rᵀ、平移为 −Rᵀp。SE(3) 的一个元素可以描述一个位姿，即一个坐标系相对于另一个坐标系的位置和姿态，也可以描述把点从一个坐标系带到另一个坐标系的一次运动。它有六个自由度，三个转动自由度和三个平移自由度；"特殊"一词意味着排除了反射。

SE(3) 是一个李群（Lie group），即一个本身也是群的光滑弯曲空间，而且它不是向量空间：把两个位姿相加，或逐元素地平均矩阵，都得不到一个有效的位姿。它在单位元处的切空间，即李代数 se(3)，由组合了角速度和线速度的六维运动旋量（twist）组成。指数映射把运动旋量变成变换，对数映射则把它映射回去。这些映射是以下内容的基础：运动学中的指数积公式；SLAM 和位姿图求解器中使用的流形上优化，其中的更新以小的运动旋量形式施加；以及位姿的正确插值和不确定性表示。它的平面对应物 SE(2) 有三个自由度，即 x、y 和航向，用于移动机器人和被约束在平面内的物体，例如夹在夹爪两个平行夹指之间的物体。

SE(3) 中的位姿可以存储为齐次矩阵，存储为一个旋转（旋转矩阵、单位四元数或轴角）加一个平移向量，存储为对偶四元数，或用运动旋量坐标存储。在学习中，输出位姿的网络必须谨慎处理旋转部分，因为四元数对每个旋转覆盖两次，而且有些参数化是不连续的。SE(3) 等变（SE(3)-equivariant）网络把该群的对称性内建到结构中，因此当输入场景被旋转或平移时，它们的输出会一致地随之变换。

为何重要

机器人中的每一个坐标系、传感器外参、末端执行器目标和物体位姿都是 SE(3) 的元素。把它当作一个群，而不是十二个相互独立的数，可以避免旋转矩阵漂移、复合顺序错误和无效平均等常见错误，并使优化和不确定性估计正确无误。

主要应用

正运动学和末端执行器位姿目标
SLAM、视觉里程计和位姿图优化
用于抓取的物体位姿估计
在位姿之间插值轨迹
标定传感器外参
面向操作的等变学习

实际应用

在一个拾取任务中，正运动学给出夹爪在基座坐标系中的位姿，手眼标定给出相机在夹爪坐标系中的位姿，位姿估计器给出物体在相机坐标系中的位姿。物体在基座坐标系中的位姿就是这三个变换按此顺序的乘积，而一致的坐标系命名约定可以防止把顺序弄混。在融合多个位姿估计时，团队在 SO(3) 上平均旋转，例如使用四元数平均或在切空间中迭代求均值，而不是平均矩阵元素。Sophus、manif 以及 ROS 中的 tf2 等库可以处理这些运算。

常见误解

位姿可以逐元素地平均或插值 — 结果通常不是一个有效的旋转；平均和插值必须遵守群结构
SE(3) 只是把 SO(3) 和一个平移向量并排放在一起 — 元素是相同的，但在复合运动时旋转会作用于平移，因此复合规则不同
欧拉角加位置是一种安全的通用表示 — 它们能覆盖 SE(3)，但存在奇异性；四元数或旋转矩阵可以避免这些奇异性

谁需要了解

处理坐标系的机器人软件工程师
SLAM 和状态估计工程师
运动学和操作工程师
预测位姿的机器学习研究人员

维基百科

欧几里得群

Open Source Robotics