Double Integrator
- 类别: Control › Feedback control
- 标签: dynamics, linear-systems, state-space, control-theory, point-mass
最简单的二阶动态系统：控制输入是加速度，位置和速度是状态。它对在指令力作用下运动的质点建模。
定义
双积分器（double integrator）是这样一种系统：它的输入经过两次积分得到输出。在一维情况下，动力学为 ẍ = u：控制量 u 是加速度，速度是它的积分，位置是速度的积分。写成状态空间形式，状态为 [p; v]，系统为 ẋ = A x + B u，其中 A = [[0, 1], [0, 0]]，B = [0; 1]。更高维的版本在每个轴上叠加这样一对状态，因此在 3D 中运动的质点就是三个相互独立的双积分器。从物理上看，它描述的是一个受力驱动的无摩擦质量，输入为力除以质量。
双积分器是线性且可控的，这使它成为控制和规划中的标准例子。对位置和速度施加比例-微分（PD）反馈就能使它稳定，而增益直接对应闭环的固有频率和阻尼。它的线性二次型调节器可以由一个小规模的黎卡提方程得到，而加速度有界的最短时间问题有一个著名的 bang-bang 解，在相平面上只有一条切换曲线。在离散时间下，步长为 Δt 且输入在该步内保持不变时，更新为 p ← p + v Δt + ½ u Δt² 和 v ← v + u Δt，很容易嵌入模型预测控制和轨迹优化中。
许多真实系统经过变换后都可以化为双积分器。计算力矩控制抵消全驱动操作臂的非线性动力学，使每个关节都表现得像一个由指令加速度驱动的双积分器。四旋翼的平移运动在指令加速度意义下接近双积分器，这也是微分平坦性和最小 snap 轨迹在无人机上效果良好的原因之一。规划论文常在仿真中使用双积分器机器人，因为它们在保持动力学简单的同时，体现了动量和加速度限制。这种简单性的代价是缺少摩擦、执行器动力学、非完整约束和饱和，因此在双积分器上得到的结果并不会自动迁移到真实平台上。
为何重要
双积分器是能体现惯性的最简单模型：机器人无法瞬间改变速度。它是理解反馈控制、轨迹生成和运动动力学规划的起点，许多实用的控制器也是先把机器人化为这种形式再进行设计的。
主要应用
- 作为运动规划和控制研究中的基准动力学
- 四旋翼平移运动和质点式载具的简化模型
- 计算力矩线性化之后的关节级模型
- 教授 PD、LQR 和最短时间控制
- 二阶智能体的多智能体一致性和编队控制
实际应用
一个为一组地面机器人开发反应式规划器原型的团队，先在仿真中用加速度和速度都有界的双积分器智能体对其进行测试，使规划器必须考虑停车距离。规划器能够工作后，他们把它部署到真实的差速驱动机器人上，使用一个跟踪规划加速度的底层控制器，并在加速度限制上留出裕度以吸收跟踪误差。当真实机器人在转弯时冲过头，团队追查发现问题出在未建模的非完整约束上，于是要么把它加入规划器，要么收紧加速度上限。
常见误解
- 双积分器只是教科书里的玩具 — 许多受控系统经过反馈线性化后都会化为双积分器，它在无人机和操作臂控制中被广泛使用
- 在双积分器上得到的结果可以直接迁移到真实机器人 — 摩擦、执行器限制、延迟和非完整约束都不在模型中，它们可能改变系统行为
- 双积分器和单积分器是一回事 — 单积分器以速度为输入，可以瞬间改变速度，而双积分器以加速度为输入，具有动量
谁需要了解
- 控制工程师和学生
- 测试新算法的运动规划研究人员
- 无人机和移动机器人开发者
- 多机器人系统研究人员
相关技术
- PD 控制（PD Control）
- 计算力矩控制（Computed-Torque Control）
- bang-bang 控制（Bang-Bang Control）
- 状态空间模型（State-Space Models）
- 模型预测控制（Model Predictive Control）
相关术语
- Linear-Quadratic Regulator
- PID Controller
- Model Predictive Control
- Feedback Linearization
- Minimum-Snap Trajectory
- Kinodynamic Planning