SE(3)

又稱: special Euclidean group, SE3, rigid-body transformation group
類別: Foundations & spatial maths › Frames & transforms
標籤: lie-groups, rigid-body-motion, spatial-math, kinematics, pose-estimation

3D 空間中剛體運動所構成的群，也就是所有旋轉與所有平移的組合，通常寫成 4×4 齊次變換矩陣。它描述姿態與姿態的變化。

定義

SE(3)，也就是三維特殊歐幾里得群（special Euclidean group），包含所有的剛體變換：一個來自 SO(3)（行列式為 +1 的 3×3 正交矩陣所構成的群）的旋轉 R，加上一個平移向量 p。寫成 4×4 齊次矩陣（R 在左上角，p 在右側一行，最下面一列為 [0 0 0 1]）時，兩個運動的合成就是矩陣乘法，其反元素的旋轉為 Rᵀ、平移為 −Rᵀp。SE(3) 的一個元素可以描述一個姿態，也就是一個座標系相對於另一個座標系的位置與方向，也可以描述把點從一個座標系帶到另一個座標系的一次運動。它有六個自由度，三個旋轉自由度與三個平移自由度；「特殊」代表排除了鏡射。

SE(3) 是一個李群（Lie group），也就是本身也是群的光滑彎曲空間，而且它不是向量空間：把兩個姿態相加，或逐項平均矩陣，都得不到有效的姿態。它在單位元素處的切空間，也就是李代數 se(3)，由結合角速度與線速度的六維運動旋量（twist）組成。指數映射把運動旋量轉成變換，對數映射則把它映射回去。這些映射是下列內容的基礎：運動學的指數積公式；SLAM 與姿態圖求解器所用的流形上最佳化，其中的更新以小的運動旋量形式套用；以及姿態的正確內插與不確定性。它的平面對應版本 SE(2) 有三個自由度，即 x、y 與航向，用於移動機器人以及受限在平面上的物體，例如夾在夾爪兩片平行夾爪指之間的物體。

SE(3) 中的姿態可以儲存為齊次矩陣，儲存為一個旋轉（旋轉矩陣、單位四元數或軸角）加上一個平移向量，儲存為對偶四元數，或以運動旋量座標儲存。在學習中，輸出姿態的網路必須小心處理旋轉部分，因為四元數會把每個旋轉涵蓋兩次，而且有些參數化並不連續。SE(3) 等變（SE(3)-equivariant）網路把這個群的對稱性內建在結構中，因此當輸入場景被旋轉或平移時，輸出會一致地跟著轉換。

為何重要

機器人中的每個座標系、感測器外部參數、末端執行器目標與物體姿態，都是 SE(3) 的元素。把它當成一個群，而不是十二個彼此獨立的數字，可以避免旋轉矩陣漂移、合成順序錯誤與無效平均等常見錯誤，並讓最佳化與不確定性估測正確。

主要應用

正向運動學與末端執行器姿態目標
SLAM、視覺里程計與姿態圖最佳化
用於抓取的物體姿態估測
在姿態之間內插軌跡
校正感測器外部參數
用於操作的等變學習

實際應用

在一個取放任務中，正向運動學提供夾爪在基座座標系中的姿態，手眼校正提供相機在夾爪座標系中的姿態，姿態估測器則提供物體在相機座標系中的姿態。物體在基座座標系中的姿態，就是這三個變換依此順序的乘積，而一致的座標系命名慣例能避免把順序弄混。融合多個姿態估測時，團隊在 SO(3) 上平均旋轉，例如使用四元數平均或在切空間中反覆求平均，而不是平均矩陣的各項。Sophus、manif 以及 ROS 中的 tf2 等函式庫可以處理這些運算。

常見誤解

姿態可以逐項平均或內插 — 結果通常不是有效的旋轉；平均與內插必須遵守群結構
SE(3) 只是把 SO(3) 和一個平移向量並排放在一起 — 元素是一樣的，但合成運動時旋轉會作用在平移上，因此合成規則不同
歐拉角加上位置是安全的通用表示法 — 它們能涵蓋 SE(3)，但有奇異點；四元數或旋轉矩陣可以避免這些奇異點

誰需要了解

處理座標系的機器人軟體工程師
SLAM 與狀態估測工程師
運動學與操作工程師
預測姿態的機器學習研究人員

維基百科

欧几里得群

Open Source Robotics