Complementarity Constraint

Também chamado: complementarity condition, contact complementarity
Categoria: Planning & manipulation › Trajectory optimisation
Tags: contact, trajectory-optimization, nonlinear-programming, physics-simulation, legged-robots

Um par de condições de não negatividade com produto zero, de modo que no máximo uma das grandezas pode ser positiva; usado para modelar o contato, em que a força só existe se a folga for zero.

Definição

Uma restrição de complementaridade (complementarity constraint) relaciona duas grandezas que devem ser ambas não negativas e cujo produto deve ser zero, o que se escreve 0 ≤ a ⊥ b ≥ 0. Em qualquer solução, pelo menos uma das duas é zero, e qualquer uma delas só pode ser positiva enquanto a outra permanece em zero. Essa estrutura aparece sempre que um sistema alterna entre dois regimes sem uma variável de chaveamento explícita, e é a base do problema de complementaridade linear (LCP) e dos programas matemáticos com restrições de complementaridade.

O contato rígido é o exemplo padrão na robótica. A distância φ(q) entre um pé ou dedo e uma superfície deve ser não negativa, a força normal de contato λ deve ser não negativa porque as superfícies só podem empurrar, e a força só pode ser diferente de zero quando a distância é zero: 0 ≤ φ(q) ⊥ λ ≥ 0. O atrito de Coulomb pode ser escrito com condições de complementaridade adicionais que relacionam a velocidade de deslizamento a se a força de atrito está na borda do cone de atrito. Os simuladores de corpos rígidos por passos de tempo desenvolvidos nos anos 1990, incluindo os esquemas de Stewart e Trinkle e de Anitescu e Potra, resolvem um LCP ou um problema de complementaridade relacionado a cada passo para encontrar os impulsos de contato. Em otimização de trajetória, Posa, Cantu e Tedrake (2014) adicionaram essas restrições diretamente a um problema de transcrição direta, de modo que o otimizador escolhe quando e onde os contatos são feitos e desfeitos sem que a sequência de contatos seja especificada de antemão.

A abordagem evita as variáveis inteiras que uma formulação inteira mista usaria para ligar e desligar o contato, mas traz sua própria dificuldade. As restrições de complementaridade são não convexas e violam as qualificações de restrição das quais dependem os solvers padrão de programação não linear, por isso os solvers podem travar ou convergir lentamente. Remédios comuns são relaxar a condição do produto para φλ ≤ ε e apertar ε ao longo de uma sequência de resoluções, levar o produto para o custo como penalidade ou usar solvers projetados para problemas de complementaridade. Boas estimativas iniciais importam muito, e é por isso que otimizadores com contato implícito costumam receber inicialização a quente a partir de soluções mais simples.

Por que importa

O contato é a característica que define a locomoção com pernas e a manipulação, e as restrições de complementaridade são a forma exata padrão de escrever o contato rígido em equações. Elas permitem que simuladores calculem forças de contato de forma consistente e que otimizadores descubram o momento dos contatos, em vez de exigir que um engenheiro fixe de antemão a marcha ou a sequência de contatos.

Principais aplicações

Otimização de trajetória com contato implícito para robôs com pernas e manipulação
Simulação de corpos rígidos por passos de tempo com contato e atrito
Planejamento de aterrissagens, saltos e impactos
Modelagem de restrições unilaterais, como limites de junta e cabos
Formulações de física diferenciável do contato

Na prática

Um engenheiro planeja a aterrissagem de um quadrúpede solto de uma certa altura. A otimização de trajetória usa transcrição direta com pontos de nó a cada poucos milissegundos; para cada pé e cada nó, ela adiciona como variáveis a altura do pé acima do solo e a força vertical de reação do solo, com as condições altura ≥ 0, força ≥ 0 e altura × força ≤ ε. A primeira resolução usa um ε folgado e uma estimativa inicial a partir de um movimento de queda simples; cada resolução seguinte aperta ε e recebe inicialização a quente a partir da solução anterior. O plano final mostra quais pés tocam o solo primeiro e como as forças aumentam, e o engenheiro verifica se a violação de complementaridade restante é pequena o bastante para que o plano não dependa de forças à distância.

Equívocos comuns

Restrições de complementaridade tornam o planejamento de contato convexo — elas eliminam as variáveis inteiras, mas são não convexas e numericamente difíceis para solvers padrão
Uma solução com um produto relaxado pequeno é fisicamente exata — com φλ ≤ ε o otimizador pode explorar forças pequenas a distâncias pequenas, por isso ε e a violação restante precisam ser verificados
Todos os motores de física resolvem o contato como um problema de complementaridade — muitos usam, em vez de complementaridade estrita, modelos de contato por penalidade ou complacentes, ou relaxações convexas

Quem deve saber

Engenheiros de otimização de trajetória e de locomoção com pernas
Desenvolvedores de simulação física
Pesquisadores de manipulação que planejam através do contato
Profissionais de otimização numérica em robótica

Tecnologias relacionadas

Problema de complementaridade linear (Linear Complementarity Problem, LCP)
MPCC (Mathematical Program with Complementarity Constraints)
IPOPT
Drake
Solver PATH

Termos relacionados

Projetos relacionados

Drake: MIT robotics toolbox for model-based dynamics, optimization, and control system design
ProtoMotions: NVIDIA framework for training simulated digital humans and humanoid robots on GPUs
PyRoki: Modular Python toolkit for kinematic optimization across CPU, GPU, and TPU via JAX
PHC: Physics-based perpetual humanoid controller with fail-state recovery for real-time avatars
SOFA Framework: Real-time physics simulation framework for medical simulation and soft tissue modeling
Extreme Parkour with Legged Robots: RL system for legged robot parkour trained in under 20 hours