SE(3)

• 別名: special Euclidean group, SE3, rigid-body transformation group
• カテゴリ: Foundations & spatial maths › Frames & transforms
• タグ: lie-groups, rigid-body-motion, spatial-math, kinematics, pose-estimation

3 次元空間における剛体運動、すなわちあらゆる回転とあらゆる並進の組み合わせからなる群で、通常 4×4 の同次変換行列で表される。姿勢と姿勢の変化を記述する。

定義

SE(3)、すなわち 3 次元の特殊ユークリッド群（special Euclidean group）は、あらゆる剛体変換を含む。それは、行列式が +1 の 3×3 正規直交行列の群である SO(3) に属する回転 R と、並進ベクトル p の組である。R を左上に、p を右端の列に、[0 0 0 1] を最下行に置いた 4×4 の同次行列で書くと、2 つの運動の合成は行列の積になり、逆元は回転 Rᵀ と並進 −Rᵀp をもつ。SE(3) の要素は、ある座標系に対する別の座標系の位置と姿勢である姿勢（ポーズ）を表すことも、点をある座標系から別の座標系へ運ぶ運動を表すこともできる。自由度は 6 で、回転が 3、並進が 3 である。「特殊」とは鏡映を除外していることを意味する。

SE(3) はリー群（Lie group）、つまり群でもある滑らかな曲がった空間であり、ベクトル空間ではない。2 つの姿勢を足したり、行列を要素ごとに平均したりしても、有効な姿勢にはならない。単位元における接空間であるリー代数 se(3) は、角速度と並進速度をまとめた 6 次元のツイスト（twist）からなる。指数写像はツイストを変換に変え、対数写像はそれを元に戻す。これらの写像は、運動学における指数積公式、SLAM や姿勢グラフのソルバーで使われる多様体上の最適化（更新を小さなツイストとして適用する）、そして姿勢の正しい補間と不確かさの扱いの基礎になっている。平面版の SE(2) は x、y、方位の 3 自由度をもち、移動ロボットや、グリッパーの平行なジョーの間に挟まれた物体のように平面に拘束された物体に使われる。

SE(3) の姿勢は、同次行列として、回転（回転行列、単位クォータニオン、軸角）と並進ベクトルの組として、デュアルクォータニオンとして、あるいはツイスト座標で保存できる。学習では、クォータニオンが各回転を 2 回ずつ覆い、また一部のパラメータ化は不連続であるため、姿勢を出力するネットワークは回転の部分を慎重に扱わなければならない。SE(3) 同変（SE(3)-equivariant）ネットワークは、この群の対称性を構造に組み込んでいるので、入力シーンが回転または並進したときに、出力もそれに整合して変換される。

重要な理由

ロボットにおけるあらゆる座標系、センサの外部パラメータ、エンドエフェクタの目標、物体の姿勢は SE(3) の要素である。これを 12 個の独立した数ではなく群として扱えば、回転行列のドリフト、合成順序の誤り、無効な平均化といったよくあるバグを避けられ、最適化と不確かさの推定が正しくなる。

主な用途

• 順運動学とエンドエフェクタの目標姿勢
• SLAM、ビジュアルオドメトリ、姿勢グラフ最適化
• 把持のための物体姿勢推定
• 姿勢間の軌道の補間
• センサの外部パラメータのキャリブレーション
• マニピュレーションのための同変学習

実際の使われ方

ピッキングのタスクでは、順運動学がベース座標系におけるグリッパーの姿勢を、ハンドアイキャリブレーションがグリッパー座標系におけるカメラの姿勢を、姿勢推定器がカメラ座標系における物体の姿勢を与える。ベース座標系における物体の姿勢は、この 3 つの変換をこの順に掛けたものであり、座標系の命名規則を統一しておけば順序の取り違えを防げる。複数の姿勢推定を融合するとき、チームは行列の要素を平均するのではなく、たとえばクォータニオン平均や接空間での反復平均を使って SO(3) 上で回転を平均する。Sophus、manif、ROS の tf2 などのライブラリがこれらの演算を扱う。

よくある誤解

• 姿勢は要素ごとに平均や補間ができる — 結果は一般に有効な回転にならず、平均や補間は群の構造に従って行わなければならない
• SE(3) は SO(3) と並進ベクトルを並べただけのものである — 要素は同じだが、運動を合成するときに回転が並進に作用するため、合成の規則が異なる
• オイラー角と位置の組は安全な汎用表現である — SE(3) 全体を表せるが特異点がある。クォータニオンや回転行列ならそれを避けられる

知っておくべき人

• 座標系を扱うロボティクスのソフトウェアエンジニア
• SLAM と状態推定のエンジニア
• 運動学とマニピュレーションのエンジニア
• 姿勢を予測する機械学習の研究者

関連技術

• SO(3)
• リー代数 se(3)（Lie Algebra se(3)）
• 同次変換行列（Homogeneous Transformation Matrix）
• クォータニオン（Quaternions）
• Sophus
• tf2

関連用語

• Transform
• Coordinate Frame
• Screw Axis
• Forward Kinematics
• Pose Graph Optimization
• Equivariance

関連プロジェクト

• AprilTag: The standard visual fiducial marker system for robot localization and pose estimation
• MoveIt 2: Motion planning framework for ROS 2 robot arms, with kinematics and collision checking
• manif: Header-only C++ Lie theory library for robotics state estimation
• PyRoki: Modular Python toolkit for kinematic optimization across CPU, GPU, and TPU via JAX
• PyPose: PyTorch library for differentiable robotics with deep learning and Lie group optimization
• DART: C++ physics engine for articulated rigid body dynamics and robotics simulation

ウィキペディア

• ユークリッドの運動群