Linear-Quadratic Regulator

Detto anche: LQR, linear quadratic regulator
Categoria: Control › Feedback control
Tag: optimal-control, feedback-control, state-space, riccati-equation, stabilization

Un controllore ottimo in retroazione per sistemi lineari con costi quadratici sullo stato e sull'ingresso, la cui soluzione è una matrice di guadagno ricavata da un'equazione di Riccati.

Definizione

Un regolatore lineare quadratico (LQR) (linear-quadratic regulator) trova la legge di retroazione che minimizza un costo quadratico per un sistema con dinamica lineare. A tempo discreto la dinamica è x_{k+1} = A x_k + B u_k e il costo è la somma nel tempo di xᵀQx + uᵀRu, dove Q pesa l'errore di stato e R pesa lo sforzo di controllo. Il controllo ottimo è una retroazione lineare dello stato, u = −Kx, e il guadagno K si ricava dall'equazione di Riccati: una ricorsione all'indietro per un orizzonte finito, oppure l'equazione algebrica di Riccati per un orizzonte infinito. Kalman ha formulato il problema in questa forma nel 1960, e l'LQR resta uno dei fondamenti del controllo moderno.

In pratica gli ingegneri scelgono Q e R invece di assegnare direttamente i poli. Elementi più grandi in Q fanno sì che il controllore contrasti con più forza gli errori su quegli stati; un R più grande gli fa usare meno sforzo degli attuatori. La regola di Bryson, che imposta ciascun peso diagonale a uno diviso il quadrato del massimo valore accettabile, è un punto di partenza comune. Con retroazione dello stato completo, l'LQR a tempo continuo ha margini di robustezza garantiti, tra cui almeno 60 gradi di margine di fase su ogni canale di ingresso. Queste garanzie non valgono più quando lo stato è stimato da un osservatore; combinare l'LQR con un filtro di Kalman dà il controllo LQG, che è ottimo per rumore gaussiano ma non ha margini garantiti.

La maggior parte dei robot è non lineare, quindi l'LQR viene applicato a una linearizzazione. Linearizzare attorno a un equilibrio, come un pendolo inverso in posizione verticale o un quadrirotore in hovering, dà un controllore che funziona all'interno di una regione di attrazione attorno a quel punto. Linearizzare lungo una traiettoria dà l'LQR tempo-variante, e ripetere il processo attorno a traiettorie migliorate porta all'LQR iterativo e alla programmazione dinamica differenziale. L'LQR non gestisce vincoli come i limiti di coppia; il controllo predittivo basato su modello li aggiunge risolvendo online un'ottimizzazione vincolata, e un MPC lineare senza vincoli con costo quadratico e un orizzonte abbastanza lungo riproduce il guadagno dell'LQR. Molti progetti di MPC usano anche il costo residuo (cost-to-go) dell'LQR come costo terminale.

Perché è importante

L'LQR offre un modo rigoroso per progettare controllori in retroazione a più ingressi a partire da un modello e da due matrici di pesi, con garanzie di stabilità per il sistema linearizzato. È il punto di partenza per l'inseguimento di traiettorie, il controllo dell'equilibrio e gran parte del controllo ottimo e predittivo.

Applicazioni principali

Controllo dell'equilibrio per pendoli inversi, robot autobilanciati su ruote e umanoidi
Stabilizzazione dell'hovering e dell'assetto dei multirotori
Inseguimento di traiettorie con LQR tempo-variante
Costo terminale e controllore locale nel controllo predittivo basato su modello
Controllori stabilizzanti per l'ottimizzazione iterativa di traiettorie

In pratica

Un team che costruisce un robot autobilanciato a due ruote lo modella come un carrello con un pendolo inverso e linearizza la dinamica attorno alla posizione verticale, ottenendo le matrici A e B per beccheggio, velocità di beccheggio, posizione delle ruote e velocità delle ruote. Il team imposta Q per penalizzare molto il beccheggio e poco la posizione delle ruote, sceglie R dal limite di coppia dei motori con la regola di Bryson e calcola K con un risolutore di Riccati a tempo discreto alla frequenza di controllo di 200 Hz. Nei test il robot sta in equilibrio, ma i motori saturano dopo una spinta forte, quindi il team aumenta R finché i comandi restano entro i limiti per i disturbi previsti. Uno stimatore di stato fonde i dati dell'IMU e degli encoder per fornire lo stato completo di cui il controllore ha bisogno.

Idee sbagliate comuni

L'LQR gestisce i limiti degli attuatori — ignora i vincoli, quindi la saturazione va verificata a parte o gestita con l'MPC
L'LQR funziona solo per robot lineari — viene applicato abitualmente a sistemi non lineari tramite linearizzazione, valida vicino al punto di lavoro o alla traiettoria
L'LQR è sempre robusto — i suoi margini garantiti richiedono la retroazione dello stato completo; con un osservatore, come nell'LQG, la robustezza va verificata
Q e R derivano dalla fisica — sono scelte di progetto che bilanciano inseguimento e sforzo e vengono tarate sul compito

Chi dovrebbe saperlo

Ingegneri di controllo che progettano controllori in retroazione
Sviluppatori di robot con gambe, autobilanciati e aerei
Ricercatori di ottimizzazione di traiettorie e MPC
Studenti di robotica che imparano il controllo ottimo

Tecnologie correlate

Risolutori dell'equazione di Riccati (Riccati Equation Solvers)
Filtro di Kalman (Kalman Filter)
Controllo LQG (LQG Control)
LQR iterativo (Iterative LQR)
python-control e MATLAB Control System Toolbox

Termini correlati

Video

What Is Linear Quadratic Regulator (LQR) Optimal Control? | State Space, Part 4: MATLAB
Linear Quadratic Regulator (LQR) Control for the Inverted Pendulum on a Cart [Control Bootcamp]: Steve Brunton