Linear-Quadratic Regulator

다른 이름: LQR, linear quadratic regulator
카테고리: Control › Feedback control
태그: optimal-control, feedback-control, state-space, riccati-equation, stabilization

이차 상태 비용과 입력 비용을 가진 선형 시스템을 위한 최적 피드백 제어기로, 해는 리카티 방정식에서 구한 이득 행렬이다.

정의

선형 이차 레귤레이터(linear-quadratic regulator, LQR)는 선형 동역학을 가진 시스템에서 이차 비용을 최소화하는 피드백 법칙을 찾는다. 이산 시간에서 동역학은 x_{k+1} = A x_k + B u_k이고, 비용은 xᵀQx + uᵀRu의 시간에 대한 합이며, 여기서 Q는 상태 오차에, R은 제어 노력에 가중치를 둔다. 최적 제어는 선형 상태 피드백 u = −Kx이고, 이득 K는 리카티 방정식(Riccati equation)에서 나온다. 유한 구간에서는 역방향 재귀식, 무한 구간에서는 대수 리카티 방정식이다. Kalman이 1960년에 이 형태로 문제를 정식화했으며, LQR은 지금도 현대 제어의 기초 중 하나이다.

실제로 엔지니어는 극점을 직접 배치하기보다 Q와 R을 선택한다. Q의 항목이 클수록 제어기는 해당 상태의 오차에 더 강하게 맞서고, R이 클수록 액추에이터 노력을 덜 쓴다. 각 대각 가중치를 허용 가능한 최대값의 제곱의 역수로 정하는 Bryson의 규칙이 흔한 출발점이다. 전체 상태 피드백이 있을 때 연속 시간 LQR은 각 입력 채널에서 최소 60도의 위상 여유를 포함한 강건성 여유가 보장된다. 이 보장은 상태를 관측기로 추정하는 경우에는 이어지지 않는다. LQR을 칼만 필터와 결합하면 LQG 제어가 되는데, 이는 가우시안 잡음에 대해 최적이지만 보장된 여유는 없다.

대부분의 로봇은 비선형이므로 LQR은 선형화된 모델에 적용된다. 똑바로 선 역진자나 호버링하는 쿼드로터 같은 평형점 주위에서 선형화하면, 그 점 주위의 흡인 영역 안에서 작동하는 제어기가 얻어진다. 궤적을 따라 선형화하면 시변 LQR이 되고, 개선된 궤적 주위에서 이 과정을 반복하면 반복 LQR과 미분 동적 계획법으로 이어진다. LQR은 토크 한계 같은 제약을 다루지 못한다. 모델 예측 제어(model predictive control)는 제약이 있는 최적화를 온라인으로 풀어 제약을 추가하며, 이차 비용과 충분히 긴 구간을 가진 제약 없는 선형 MPC는 LQR 이득을 그대로 재현한다. 많은 MPC 설계는 LQR의 cost-to-go를 종단 비용으로도 사용한다.

중요한 이유

LQR은 모델과 두 가중치 행렬로부터 다중 입력 피드백 제어기를 설계하는 원리적인 방법을 제공하며, 선형화된 시스템에 대한 안정성 보장을 준다. 궤적 추종, 균형 제어, 그리고 최적 제어와 예측 제어의 상당 부분의 출발점이다.

주요 응용

역진자, 바퀴형 밸런싱 로봇, 휴머노이드의 균형 제어
멀티로터의 호버링 및 자세 안정화
시변 LQR을 이용한 궤적 추종
모델 예측 제어의 종단 비용과 국소 제어기
반복 궤적 최적화를 위한 안정화 제어기

실제 사례

2륜 밸런싱 로봇을 만드는 한 팀이 로봇을 역진자가 달린 카트로 모델링하고 똑바로 선 자세 주위에서 동역학을 선형화해, 피치, 피치 각속도, 바퀴 위치, 바퀴 속도에 대한 A와 B 행렬을 얻는다. Q는 피치에 큰 벌점을, 바퀴 위치에 작은 벌점을 주도록 정하고, R은 Bryson의 규칙으로 모터 토크 한계에서 정한 뒤, 200 Hz 제어 주기에서 이산 시간 리카티 솔버로 K를 계산한다. 시험에서 로봇은 균형을 잡지만 강하게 밀면 모터가 포화되므로, 예상되는 외란에 대해 명령이 한계 안에 머물 때까지 R을 키운다. 상태 추정기가 IMU와 인코더 데이터를 융합해 제어기에 필요한 전체 상태를 제공한다.

흔한 오해

LQR은 액추에이터 한계를 처리한다 — LQR은 제약을 무시하므로, 포화는 따로 검사하거나 MPC로 다뤄야 한다
LQR은 선형 로봇에만 작동한다 — 비선형 시스템에도 선형화를 통해 일상적으로 적용되며, 동작점이나 궤적 근처에서 유효하다
LQR은 항상 강건하다 — 보장된 여유는 전체 상태 피드백을 필요로 하며, LQG처럼 관측기를 쓰면 강건성을 확인해야 한다
Q와 R은 물리에서 나온다 — 이들은 추종 성능과 노력 사이를 절충하는 설계 선택이며 작업에 맞춰 조정된다

알아야 할 사람

피드백 제어기를 설계하는 제어 엔지니어
보행, 밸런싱, 공중 로봇 개발자
궤적 최적화 및 MPC 연구자
최적 제어를 배우는 로봇공학 학생

동영상

What Is Linear Quadratic Regulator (LQR) Optimal Control? | State Space, Part 4: MATLAB
Linear Quadratic Regulator (LQR) Control for the Inverted Pendulum on a Cart [Control Bootcamp]: Steve Brunton

Open Source Robotics