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Non-Euclidean Motion Planning with Graphs of Geodesically-Convex Sets

著者: Thomas Cohn, Mark Petersen, Max Simchowitz, Russ Tedrake · RSS 2023

ライセンス

  • オープンアクセス
  • 論文: CC BY 4.0

以下の内容はすべて、論文のライセンス（CC BY 4.0）に従い論文全文に基づいています。図は著者のクレジットを付けて掲載しています。

要約

一周して元に戻る関節空間（移動ベース、連続関節）を平坦な多様体として扱うことで、GCS 最短経路プランナが引き続き大域最適で衝突のない経路を与えられるようにする。

重要な理由

モバイルマニピュレータや、ベース関節に可動範囲の制限がないアームでも、軌道上のすべての点が衝突しないことを保証し、厳密に解けば認証済みの自由空間内で最適となるプランナを使えるようになった。論文はまた、正の曲率（例えば SO(3) の球関節や自由浮遊する物体）が凸性を壊すことも証明しており、このアプローチが及ばない範囲を示している。

課題

Marcucci らの GCS プランナは、自由なコンフィギュレーション空間を凸集合に分解することで衝突のない大域最適な経路を見つけるが、ユークリッド的なコンフィギュレーション空間にしか適用できない。360° 完全に回転できる移動ベースや連続回転関節は一周して元に戻るため、そのコンフィギュレーション空間はユークリッド的ではない。人為的な関節制限を加えたり角度を非有界の実数として扱ったりすると、最適解が実行不可能になるか、答えについての事前知識と多数の複製された集合が必要になる。

提案手法

著者らはコンフィギュレーション空間をリーマン多様体としてモデル化し、Graph of Geodesically-Convex Sets（GGCS）を定義して、通常の GCS の保証が保たれることを証明する。1-DoF 関節と SE(2) ベースから構成される任意のロボットを含む平坦（曲率ゼロ）な多様体では、各集合が局所等長なチャートを通じてユークリッド空間に写され、問題はアフィンな遷移制約をもつ標準的な混合整数凸 GCS 問題に帰着する。領域は IRIS で成長させ、関節ごとに凸性半径で制限する。連続性制約付きの区分的 Bézier 軌道もそのまま使える。

主な知見

  • SE(2)、すべての 1 次元多様体、および平坦な多様体の積は平坦であるため、1 自由度関節と移動ベースからなるロボットは本手法に適合する。3-DoF の球関節は適合しない
  • 各 IRIS 領域を関節ごとに凸性半径で制限することで、多様体に写し戻したときにも領域が測地的に凸のままであることが保証される
  • 大域的に揃った座標をもつ平坦な空間では遷移写像がアフィンになるため、端点の一致と導関数の連続性の制約は凸のまま保たれる
  • 正の曲率をもつ点が一つでもあれば、リーマン距離関数はその点のあらゆる近傍で非凸になる（定理 5）

主な結果

  • トーラス上の点ロボット：0.79 s で一周する最適経路。連続関節をもつ 5 関節平面アーム：5.36 s と 4.63 s で計画し、そのうち一方は中央の関節を 360° 以上回転させる
  • 平面アーム：緩和と丸めによる経路長は 7.749 と 8.448、分枝限定法による最適値は 7.274 と 8.008
  • 連続ベース関節をもつ KUKA iiwa（シミュレーション）：18 個の凸領域を用いて 14 回のマグカップ仕分け動作を行い、1 動作あたり平均 25.75 s（範囲 4.63–50.30 s）
  • PR2（シミュレーション、15 次元のコンフィギュレーション空間）、7 つの棚へのリーチングタスク：GGCS の経路はすべてのケースで衝突がなく、例えば 1M→4M の長さは 3.875 で、PRM は 14.554。Drake-Trajopt と PRM+Trajopt はより短い経路を与えることもあったが、それらはわずかに衝突していた
  • PR2 のオンライン計画には、GGCS-Planner で 25.51–66.15 s を要し、PRM は 0.49–0.54 s、Drake-Trajopt は 2.26–15.23 s、PRM+Trajopt は 11.61–40.10 s だった
  • PR2 のオフライン準備：IRIS 領域 1 つに平均 30.20 s（8.56–75.42 s）、全領域を並列で 156.63 s。100,000 サンプルの PRM の構築には 124.39 s を要した

制限事項

  • 著者らは、本手法は非線形ダイナミクスや閉じた運動連鎖のような非凸なコストと制約、および球関節を扱えないと述べている
  • SO(3) のような正の曲率をもつ空間は除外される。そこでは距離関数が非凸であることが証明できるためである
  • 最適性は領域がカバーする「認証済み」の自由空間内でのみ成り立つ。性能は領域の選び方に強く依存し、PR2 では一部の中間領域が手作業で追加された
  • PR2 のオンライン計画時間（25.51–66.15 s）は、比較したどのベースラインよりも長かった
  • ロボットの結果はすべてシミュレーションによるものである。著者らは、暗黙的な運動学的制約を伴う双腕計画と、接触を通じた計画を今後の課題として挙げている

分野への影響

RSS 2023 Best Paper Award のファイナリストとなり、被引用数は 44 である。著者らは結果のウェブサイトですべての軌道のインタラクティブな記録を公開している。

概要

高次元システムに対して最適で衝突のない軌道を計算することは難しい問題である。サンプリングベースのプランナは次元の高さに苦しみ、軌道最適化手法は最適化の地形に内在する非凸性のために局所最小に陥ることがある。混合整数計画を用いてこれらの非凸性を取り込み、大域最適な軌道を求める手法は、近年大きな可能性を示している。これは、タイトな凸緩和と、実行時間を大幅に短縮する効率的な近似戦略によるところもある。これらの手法はこれまでユークリッド的なコンフィギュレーション空間に限られており、移動ベースや連続回転関節には使えなかった。本論文では、コンフィギュレーション空間をリーマン多様体としてモデル化することでこうした状況を扱い、曲率ゼロの場合について混合整数凸最適化問題へ帰着させる手順を述べる。PR2 双腕モバイルマニピュレータに対する効率的な衝突のない軌道の生成を含め、さまざまなロボットプラットフォームで結果を示す。

リンク

  • arXiv 2305.06341: https://arxiv.org/abs/2305.06341
  • DOI 10.1177/02783649241302419: https://doi.org/10.1177/02783649241302419
  • PDF: https://arxiv.org/pdf/2305.06341v1
  • プロジェクトページ: https://ggcs-anonymous-submission.github.io/

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