Constraint Manifold

También llamado: constraint surface
Categoría: Planning & manipulation › Trajectory optimisation
Etiquetas: motion-planning, configuration-space, constrained-planning, bimanual-manipulation, sampling-based-planning

El conjunto de configuraciones del robot que satisfacen una o más restricciones de igualdad, como mantener una bandeja nivelada; normalmente una superficie de menor dimensión dentro del espacio de configuraciones.

Definición

Una variedad de restricciones (constraint manifold) es el subconjunto del espacio de configuraciones formado por todas las configuraciones q que satisfacen una restricción de igualdad F(q) = 0. Las restricciones típicas fijan parte de la pose del efector final: mantener una taza en posición vertical, sostener un rotulador contra una pizarra, mantener una pinza en el tirador de una puerta mientras la puerta gira o mantener una transformación fija entre dos manos que sujetan el mismo objeto. Cuando las k ecuaciones de restricción son independientes, el teorema de la función implícita dice que el conjunto de soluciones es localmente una variedad suave de dimensión (n − k) dentro del espacio de configuraciones de dimensión n. Como tiene menor dimensión que el espacio que la rodea, tiene volumen cero: una configuración muestreada al azar satisface la restricción con probabilidad cero.

Esa propiedad es lo que hace difícil la planificación de movimiento con restricciones. Los planificadores basados en muestreo como PRM y RRT toman configuraciones aleatorias y las conectan con segmentos rectos, y ambos pasos fallan sobre una variedad, ya que las muestras no caen en ella y un segmento recto entre dos puntos de una variedad curva se sale de ella. Los planificadores con restricciones usan unas pocas estrategias principales. Los métodos de proyección toman una muestra fuera de la variedad y la llevan a la variedad, a menudo con iteraciones de Newton que usan la jacobiana de las restricciones. Los métodos de continuación o de atlas construyen cartas locales sobre el espacio tangente y extienden la búsqueda a lo largo de ellas. Los métodos de relajación aceptan una pequeña banda de tolerancia alrededor de la variedad, lo que la convierte en una región delgada de volumen no nulo. Los métodos de parametrización, cuando están disponibles, describen la variedad directamente con un conjunto menor de coordenadas libres, por ejemplo usando cinemática inversa analítica para calcular las articulaciones de un brazo a partir de las del otro en un agarre bimanual.

En las cadenas cinemáticas cerradas, incluidos dos brazos que sujetan un mismo objeto rígido y los mecanismos paralelos, la variedad de restricciones es el conjunto de configuraciones en las que el lazo permanece cerrado. La optimización de trayectorias trata las mismas restricciones como restricciones de igualdad del problema de optimización, en lugar de como un conjunto del que muestrear. La estructura de la variedad importa en ambos casos: los límites articulares o las distintas ramas de la cinemática inversa pueden dividirla en componentes separadas, y ningún movimiento continuo puede pasar de una a otra.

Por qué importa

Muchas tareas útiles tienen restricciones: transportar recipientes abiertos, mover objetos con dos brazos, abrir puertas y cajones, y dibujar o limpiar sobre superficies. Los planificadores que ignoran la estructura de volumen cero de la variedad de restricciones o bien no encuentran trayectorias, o bien devuelven trayectorias que violan la restricción entre puntos de paso, por lo que la forma en que un planificador trata la variedad explica gran parte de su velocidad y fiabilidad.

Aplicaciones clave

Manipulación bimanual de un objeto rígido compartido
Transporte de objetos que deben mantenerse en posición vertical, como recipientes abiertos
Apertura de puertas, cajones y válvulas a lo largo de una bisagra o una guía
Planificación para mecanismos de cadena cerrada y robots paralelos
Movimiento de herramientas sobre superficies, como escribir, limpiar o pulir
Planificación para humanoides y robots con patas con contactos fijos de manos o pies

En la práctica

Dos brazos de siete articulaciones transportan una caja larga, sujeta rígidamente por ambas pinzas. El espacio de configuraciones combinado tiene catorce dimensiones, pero la transformación fija entre las manos impone seis restricciones de igualdad, así que las configuraciones válidas están en una variedad de restricciones de ocho dimensiones. Un RRT basado en proyección muestrea una configuración aleatoria, aplica pasos de Newton con la jacobiana de las restricciones para llevarla a la variedad y comprueba pasos cortos a lo largo de cada arista tanto en colisiones como en error de restricción. Una alternativa, usada cuando se dispone de cinemática inversa analítica, planifica sobre las articulaciones de un brazo más el parámetro de redundancia del otro y calcula las articulaciones del segundo brazo en forma cerrada, de modo que cada muestra satisface la restricción por construcción. El equipo compara con qué frecuencia falla cada enfoque cerca de los límites articulares, donde puede que ni la proyección ni la solución en forma cerrada tengan una respuesta válida.

Ideas erróneas comunes

La planificación con restricciones solo necesita más muestras — la variedad tiene volumen cero, así que las muestras aleatorias casi nunca caen en ella, por muchas que se tomen
Si cada punto de paso satisface la restricción, toda la trayectoria también — la interpolación en línea recta entre dos configuraciones válidas en general se sale de una variedad curva, así que también hay que comprobar o proyectar las aristas
La variedad de restricciones es una única superficie conexa — los límites articulares y las distintas ramas de la cinemática inversa pueden dividirla en componentes que ningún movimiento continuo puede unir

Quién debería saberlo

Ingenieros de planificación de movimiento
Investigadores en manipulación bimanual y manipulación móvil
Ingenieros que desarrollan optimizadores de trayectorias con restricciones
Estudiantes de robótica que estudian el espacio de configuraciones

Tecnologías relacionadas

Planificación con restricciones basada en proyección (Projection-Based Constrained Planning)
Planificación basada en atlas (Atlas-Based Planning)
Jacobiana de las restricciones (Constraint Jacobian)
Método de Newton–Raphson (Newton–Raphson Method)
Teorema de la función implícita (Implicit Function Theorem)

Términos relacionados

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