Feedback Linearization

Auch genannt: exact linearization, nonlinear dynamic inversion, NDI
Kategorie: Control › Feedback control
Schlagwörter: nonlinear-control, model-based-control, manipulator-control, dynamics, trajectory-tracking

Ein nichtlineares Regelungsverfahren, das ein Modell des Systems nutzt, um seine Nichtlinearitäten durch Zustandsrückführung aufzuheben, sodass auf das Ergebnis der übliche lineare Reglerentwurf angewendet werden kann.

Definition

Linearisierung durch Rückführung (feedback linearization) ist ein Verfahren zur Regelung nichtlinearer Systeme, bei dem sie algebraisch in lineare Systeme überführt werden. Der Regler berechnet mithilfe eines Dynamikmodells einen Eingang, der die nichtlinearen Terme aufhebt, und führt einen neuen virtuellen Eingang ein, über den sich der geschlossene Regelkreis wie ein einfaches lineares System verhält, oft wie eine Kette von Integratoren. Für dieses lineare System wird dann ein herkömmlicher linearer Regler entworfen, etwa ein Proportional-Differential-Gesetz oder eine Polvorgabe. Anders als bei der Linearisierung um einen Arbeitspunkt ist die Kompensation überall dort exakt, wo das Modell gilt.

In der Robotik ist das bekannteste Beispiel die Computed-Torque-Regelung für Manipulatoren. Die Starrkörperdynamik eines Arms lautet M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q) = τ. Wählt man das Drehmoment τ = M(q)v + C(q, q̇)q̇ + g(q), heben sich Trägheits-, Coriolis- und Gravitationsterme auf, und für jedes Gelenk bleibt q̈ = v. Der neue Eingang v kann ein PD-Gesetz auf Gelenkpositions- und Gelenkgeschwindigkeitsfehler plus eine Sollbeschleunigung sein, was eine entkoppelte lineare Fehlerdynamik ergibt, deren Verstärkungen direkt für das gewünschte Verhalten gewählt werden. Die Operational-Space-Regelung wendet dieselbe Idee in Endeffektor-Koordinaten an.

Die Theorie unterscheidet die Eingangs-Zustands-Linearisierung, bei der der gesamte Zustand linear gemacht wird, von der Eingangs-Ausgangs-Linearisierung, bei der nur die Beziehung zwischen dem Eingang und einem gewählten Ausgang linearisiert wird. Im Eingangs-Ausgangs-Fall wird der Ausgang so lange differenziert, bis der Eingang auftritt; die Zahl der Differentiationen ist der relative Grad. Ist der relative Grad kleiner als die Systemordnung, bleibt ein Teil der Dynamik, die interne oder Nulldynamik, am Ausgang verborgen und muss stabil sein, damit der Ansatz funktioniert; Systeme, bei denen sie instabil ist, heißen nichtminimalphasig.

Die Hauptschwäche ist die Modellabhängigkeit. Die Kompensation ist nur exakt, wenn das Modell exakt ist; Fehler bei Masse, Reibung oder Aktuatorverhalten hinterlassen Restnichtlinearitäten, die der lineare äußere Kreis auffangen muss. Praktische Regler ergänzen robuste oder adaptive Terme, einen Integralanteil oder gelernte Modelle der Restdynamik. Auch Eingangssättigung kann die Kompensation zerstören, wenn das erforderliche Drehmoment über dem liegt, was die Aktuatoren liefern können.

Warum es wichtig ist

Linearisierung durch Rückführung verbindet nichtlineare Roboterdynamik mit dem großen Werkzeugkasten der linearen Regelung; deshalb ist die Computed-Torque-Regelung weiterhin ein Standardverfahren für Manipulatoren, und deshalb nutzen viele Regler für Lauf- und Flugroboter dieselbe Idee. Wer ihre Annahmen versteht, kann erklären, warum modellbasierte Regler präzise folgen können und warum sie nachlassen, wenn das Modell falsch ist.

Wichtige Anwendungen

Computed-Torque-Regelung — Trajektorienfolge für Robotermanipulatoren
Operational-Space-Regelung — Regelung von Endeffektorbewegung und -kraft in Aufgabenkoordinaten
Quadrotor-Regelung — Aufheben nichtlinearer Lage- und Schubdynamik für die Trajektorienfolge
Zweibeiniges Gehen — Linearisierung ausgewählter Ausgänge in Reglern auf Basis hybrider Nulldynamik
Bahnfolge mobiler Roboter — Linearisierung kinematischer Modelle von Radfahrzeugen

In der Praxis

Ein Team, das einen Roboterarm regelt, baut sein Dynamikmodell meist aus der URDF mit einer Starrkörperdynamik-Bibliothek wie Pinocchio oder RBDL auf, identifiziert Trägheits- und Reibungsparameter aus Testbewegungen und implementiert die Computed-Torque-Regelung in einer Echtzeitschleife auf Ebene der Gelenkmomente. Anschließend stellt es die äußeren PD-Verstärkungen für jedes Gelenk ein, um die gewünschte Steifigkeit und Dämpfung zu erhalten, und vergleicht kommandierte mit gemessenen Drehmomenten, um herauszufinden, wo das Modell ungenau ist. Wenn die Bahntreue bei hoher Geschwindigkeit oder unter Last nachlässt, verfeinert es das Modell, ergänzt eine Reibungskompensation oder einen gelernten Restterm, statt einfach die Rückführverstärkungen zu erhöhen.

Häufige Missverständnisse

Linearisierung durch Rückführung ist dasselbe wie Linearisierung um einen Arbeitspunkt — sie hebt Nichtlinearitäten über einen Bereich exakt auf, indem sie das vollständige Modell nutzt, statt in der Nähe eines Punktes zu approximieren
Das Ergebnis ist robust, weil der geschlossene Kreis linear ist — es hängt von einem genauen Modell ab, und Modellfehler hinterlassen nicht aufgehobene nichtlineare Terme
Jedes nichtlineare System lässt sich durch Rückführung linearisieren — Bedingungen an die Systemstruktur müssen erfüllt sein, und nichtminimalphasige Systeme lassen sich nicht direkt behandeln
Höhere Rückführverstärkungen beheben Modellfehler — sie können Fehler überdecken, verstärken aber Rauschen und regen nicht modellierte Elastizitäten an; das Modell zu verbessern ist meist wirksamer

Wer das wissen sollte

Regelungstechniker, die an Manipulatoren und Laufrobotern arbeiten
Robotik-Studierende, die nichtlineare und modellbasierte Regelung lernen
Entwickler von Steuerungen für den Drohnenflug
Forschende, die gelernte Modelle mit modellbasierter Regelung kombinieren

Videos

Easy Introduction to Feedback Linearization - Control Engineering Tutorials: Aleksandar Haber PhD

Wikipedia

Methode der globalen Linearisierung

Open Source Robotics